Tesselations

Pavages

Prenons d'abord un tessellation régulière - ce qui est un composé de polygones réguliers de la même taille et la forme. [Polygones réguliers ont tous leurs côtés la même longueur et les angles de la même taille.] Seuls trois polygones réguliers Tessellate: triangles équilatéraux, des carrés et des hexagones.

Mais pourquoi seulement ces trois et pas d'autres polygones réguliers comme des pentagones réguliers, heptagones, octogones etc?

Eh bien, il est tout à voir avec angles - plus précisément les angles internes des polygones réguliers. Voici un tableau avec les angles internes de polygones réguliers en commençant par un triangle équilatéral.

triangle équilatéral : angle interne 60 °

carré: angle interne  90 °

Pentagone : angle interne108 °

hexagone : angle interne120 °

heptagone:angle interne102,6 °

octogone : angle interne135 °

plus de huit côtés plus de 135 °


Prenons des points communs dans les pavages où les formes se rencontrent. En ces points la somme des angles doit s'élever à 360 °. Ceci est le cas pour les triangles équilatéraux, des carrés et hexagones.

 

Mais pour pentagones réguliers, heptagones, octogones, cela ne se produise pas.

 

Si nous essayons de créer un dallage avec ces formes et ne pas permettre des chevauchements, il ya toujours des lacunes quand nous essayons de mettre deux ou plus ensemble. Par exemple, lorsque nous essayons de créer un dallage avec des pentagones réguliers (interne angle de 108 °), nous voyons que nous pouvons placer trois d'entre eux à un point commun, mais il ya un fossé. Les angles internes ajouter jusqu'à 324 ° (3 x 108 °), et l'écart est de 36 °. De même, lorsque nous essayons de créer un dallage avec heptagones et octogones il ya des lacunes de 102,8 ° et 90 °. Donc, pour des polygones réguliers à paver et ne pas laisser de lacunes au niveau de chaque point commun, les angles intérieurs doivent diviser exactement en 360 °. Ceci est le cas pour le triangle équilatéral, carré et l'hexagone, mais pas le cas pour tout autre polygone régulier que leurs angles internes ne se divisent pas exactement en 360 °.



Mosaïques semi-réguliers peuvent être créés en utilisant deux polygones réguliers à plusieurs reprises pour la tuile de la surface ou en avion, par exemple un octogone et un carré.